計量テンソル

この記事には複数の問題があります。 改善やノートページでの議論にご協力ください。 出典がまったく示されていないか不十分です。内容に関する文献や情報源が必要です。（2025年6月） 脚注による出典や参考文献の参照が不十分です。脚注を追加してください。（2025年6月） 出典検索?: "計量テンソル" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL

この項目では、リーマン幾何学について説明しています。一般相対性理論における計量テンソルについては「計量テンソル (一般相対論)」をご覧ください。

リーマン幾何学において計量テンソル（けいりょうテンソル、英: metric tensor）は、空間の局所ごとの構造を表す階数（rank）2のテンソル。

距離と角度の定義を与える。多様体が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の計量テンソルが得られるときにその多様体をリーマン多様体と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、リーマン計量（Riemannian metric）とも呼ばれる。

ひとたびある座標系 xⁱ が選ばれると、計量テンソルは行列で表される。通常、文字 G があてがわれ、各成分は g_ij とされる。Gは、ユークリッド空間のように平らな領域では単位行列となる。

以下では、添え字の和に関してアインシュタインの縮約記法に従う。

時刻t₁ から t₂ までの曲線の長さは、t をパラメータとして、

${\displaystyle L=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}dt\ }$

と定義される。

この定義からわかる通り、 g_ij は、２点間の距離に対する各軸成分の寄与を表す係数である。

このとき2つの接ベクトル（tangent vector）${\displaystyle U=u^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\ }$ と ${\displaystyle V=v^{i}{\partial \over \partial x^{i}}\ }$ のなす角度 θ は、

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right|\left|g_{ij}v^{i}v^{j}\right|}}}\ }$

で与えられる。

2次元のユークリッド計量（平らな空間、直交直線座標系）では、その全域において、計量テンソルがクロネッカーデルタまたは単位行列となる。すなわち

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}}$

で与えられ、曲線の長さは良く知られた

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}}}\ }$

で与えられる。逆に計量テンソルが単位行列になるのは直交直線座標系のときに限る。

座標系を替えたユークリッド計量の例をいくつか示す。

極座標（Polar coordinates）

${\displaystyle (x^{1},x^{2})=(r,\theta )\ }$

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&(x^{1})^{2}\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}}$

^[要説明]

円筒座標（Cylindrical coordinates）

${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,z)\ }$

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+(dz)^{2}}$

球座標（Spherical coordinates）

${\displaystyle (x^{1},x^{2},x^{3})=(r,\theta ,\phi )\ }$

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&(x^{1})^{2}&0\\0&0&(x^{1}\sin x^{2})^{2}\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=(dr)^{2}+r^{2}(d\theta )^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta (d\phi )^{2}}$

この節の加筆が望まれています。 （2021年10月）

• 平らな ミンコフスキー空間（Minkowski space）

${\displaystyle (x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(t,x,y,z)\ }$

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad ds_{}^{2}=-(dt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}$

• シュワルツシルト計量

• ポアンカレ円板

${\displaystyle ds^{2}=(4/(1-(x^{2}+y^{2}))^{2})(dx^{2}+dy^{2})}$

• 石原繁『テンソル -科学技術のために-』裳華房、1991年。 

表 話 編 歴 テンソル
テンソル理論の用語集（英語版）
範囲 (Scope)	数学 座標 多重線型代数 ユークリッド幾何学 テンソル代数 微分幾何学 外微分 テンソル解析 物理学 • 工学 連続体力学 電磁気学 移動現象論 一般相対性理論 コンピュータビジョン
表記法 (Notation)	添字表記法 多重指数 アインシュタインの縮約記法 リッチ計算法（英語版） ペンローズのグラフ記法 フォークト表記 抽象添字記法 テトラド表記（英語版） ファン・デル・ヴェルデン表示
テンソルの定義	テンソル空間 テンソル場 テンソル密度（英語版） 曲線座標系におけるテンソル（英語版） 混合テンソル 反対称テンソル 対称テンソル テンソル作用素（英語版） テンソル束（英語版）
算法	テンソル積 楔積 テンソルの縮約 行列（2階テンソル）の転置 添字の上げ下げ（英語版） ホッジ双対 共変微分 外微分 共変外微分（英語版） リー微分 単位テンソル 零テンソル
関連事項	次元 基底 ベクトル、ベクトル空間 多重ベクトル（英語版） ベクトルの共変性と反変性 線型写像 行列 スピノール カルタン形式 微分形式 接続形式 測地線 多様体 ファイバー束 曲率形式 レヴィ・チヴィタ接続 アフィン接続
有名なテンソル	数学 クロネッカーのデルタ エディントンのイプシロン 計量テンソル クリストッフェル記号 リッチテンソル リーマン曲率テンソル ワイルテンソル（英語版） 捩率テンソル 物理学 慣性モーメント 角運動量 応力テンソル エネルギー・運動量テンソル 電磁場テンソル グルーオン場の強度テンソル アインシュタインテンソル 計量テンソル (一般相対論)
数学者	レオンハルト・オイラー カール・フリードリヒ・ガウス オーギュスタン＝ルイ・コーシー ヘルマン・グラスマン グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタ ヤン・アルノルドゥス・スカウテン（英語版） ベルンハルト・リーマン エルヴィン・クリストッフェル ヴォルデマール・フォークト エリ・カルタン ヘルマン・ワイル アルベルト・アインシュタイン
カテゴリ

この項目は、数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。

• 表示
• 編集